Kurzfassung
Freiformkurven können zur Approximation von Punktwolken von terrestrischen Laserscannern genutzt werden. Im Speziellen werden in dieser Untersuchung B-Spline Kurven eingesetzt, die je nach Parameterwahl lokale Gegebenheiten in einer globalen Approximation darstellen können. Typischerweise werden bei einer Approximation von B-Splines die Kontrollpunkte in einem linearen Modell geschätzt. Die Knoten sind ein weiterer Parametersatz mithilfe derer die Basisfunktionen erstellt werden. Die gemeinsame Schätzung der Knoten mit den Kontrollpunkten ergibt ein hochgradig nichtlineares Gleichungssystem. Die volle Flexibilität zur lokalen Anpassung wird erst durch die Schätzung beider Parametergruppen erreicht. Zur Stützung des nichtlinearen Gleichungssystems werden Bedingungsgleichungen und verbesserte Näherungswerte eingeführt. Diese Näherungswerte für die Knoten werden mit einer neuen Methode ermittelt. Diese basiert auf den Residuen der linearen Schätzung der Kontrollpunkte, die in Teilbereichen, sogenter Spans, analysiert werden. Begonnen wird die Approximation mit der Minimalkonfiguration, den Bézier-Kurven, innerhalb derer die Knoten festgelegt sind. Die im neuen Ansatz erzielte Verbesserung wird durch den Vergleich der Ergebnisse aus der Schätzung der Knoten und der Kontrollpunkte demonstriert.

Abstract
Freeform curves with their possibility to approximate shapes from terrestrial laser scanner point clouds are investigated in this study. We focus on B-spline curves which are able to capture the local behavior of the measured profile. Typically, the only parameter set, treated as unknowns are the control points of the B-Spline. Their location is determined by least squares adjustment. The second parameter set are the knots, usually placed at stable locations and they are part of the basis functions. The approach with fixed number of knots placed at stable locations leads to a linear system. However, it intuitively restricts the B-Spline curve in its flexibility. Hence the residuals of the approximation may still contain systematic effects. Estimating the control points and the locations of the knots at the same time succeeds in full flexibility of B-Splines and optimizes the approximation. The system of equations accrued in this second case is highly non-linear. Adequate initial values are necessary to solve this system. Furthermore, introducing constraints can enhance the convergent behavior. This paper introduces a new method that allows the estimation of the number of knots as well as their location. The method uses a bottom up approach starting with the minimum number of knots, denoted as Bézier curves, and adding one knot in each iteration step at a particular curve sections (span) until the convergent criterion is reached. The decision to insert a knot and at a specific location, is based on the analysis of the cumulated sums of squared residuals in each existing span. The location, where the additional knot was inserted, is optimized using a Gauß-Markov model with constraints. The improvements are shown by comparing the results obtained in the linear approach with fixed knots and the non-linear case where control points and the knots are treated as unknowns.